\chapter{1655年，Wallis乘积公式的推导及其应用}
\author{李国斌}
\date{2025年9月8日}
	
	\begin{abstract}
		本文详细研究了英国数学家约翰·沃利斯(John Wallis)在1655年发现的Wallis乘积公式。该公式给出了圆周率$\pi$的一个优美无穷乘积表示：
		\[
		\frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots
		\]
		本文系统介绍了Wallis公式的多种推导方法，包括积分法、正弦函数展开法、递推关系法等，并探讨了其在计算圆周率、推导斯特林公式等方面的重要应用。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	\subsection{历史背景}
	Wallis乘积公式由英国数学家约翰·沃利斯(John Wallis)在1655年其著作《无穷的算术》(Arithmetica Infinitorum)中首次提出。这是数学史上第一个将圆周率$\pi$表示为无穷乘积的公式，开创了无穷乘积研究的先河。
	
	\subsection{公式表述}
	Wallis乘积公式的标准形式为：
	\begin{equation}
		\frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2 - 1} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}
	\end{equation}
	展开形式为：
	\begin{equation}
		\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots
	\end{equation}
	
	\section{通过积分法的推导}
	\subsection{Wallis积分}
	定义Wallis积分：
	\begin{equation}
		I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx
	\end{equation}
	
	\subsection{递推关系}
	通过分部积分可得递推关系：
	\begin{align}
		I_n &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx \\
		&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1} x \cdot \sin x dx \\
		&= [-\sin^{n-1} x \cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} + (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x \cos^2 x dx \\
		&= (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x) dx \\
		&= (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n
	\end{align}
	整理得：
	\begin{equation}
		I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}
	\end{equation}
	
	\subsection{奇偶情形}
	对于偶数和奇数情形：
	\begin{align}
		I_{2m} &= \frac{(2m-1)!!}{(2m)!!} \cdot \frac{\pi}{2} \\
		I_{2m+1} &= \frac{(2m)!!}{(2m+1)!!}
	\end{align}
	
	\subsection{比值极限}
	考虑比值：
	\begin{equation}
		\frac{I_{2m}}{I_{2m+1}} = \frac{(2m-1)!!}{(2m)!!} \cdot \frac{(2m+1)!!}{(2m)!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{(2m+1)\pi}{4m} \cdot \left[\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\right]^2
	\end{equation}
	
	由于$0 < \sin x < 1$，有$I_{2m+1} < I_{2m} < I_{2m-1}$，故：
	\begin{equation}
		1 < \frac{I_{2m}}{I_{2m+1}} < \frac{I_{2m-1}}{I_{2m+1}} = 1 + \frac{1}{2m}
	\end{equation}
	
	令$m \to \infty$，由夹逼定理得：
	\begin{equation}
		\lim_{m \to \infty} \frac{I_{2m}}{I_{2m+1}} = 1
	\end{equation}
	
	代入得：
	\begin{equation}
		\lim_{m \to \infty} \frac{(2m+1)\pi}{4m} \cdot \left[\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\right]^2 = 1
	\end{equation}
	
	即：
	\begin{equation}
		\frac{\pi}{2} = \lim_{m \to \infty} \prod_{k=1}^m \frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}
	\end{equation}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			\begin{axis}[
				width=0.8\textwidth,
				height=6cm,
				domain=0:pi/2,
				samples=100,
				xlabel=$x$,
				ylabel={$\sin^n x$},
				legend pos=north east,
				grid=major,
				title={Wallis积分被积函数$\sin^n x$的行为}
				]
				
				\addplot[blue, thick] {sin(x)};
				\addplot[red, thick] {sin(x)^2};
				\addplot[green, thick] {sin(x)^4};
				\addplot[orange, thick] {sin(x)^8};
				
				\legend{$n=1$, $n=2$, $n=4$, $n=8$}
			\end{axis}
		\end{tikzpicture}
		\caption{随着$n$增大，$\sin^n x$越来越集中在$x=\pi/2$附近}
	\end{figure}
	
	\section{通过正弦函数无穷乘积的推导}
	\subsection{正弦函数的欧拉乘积公式}
	欧拉给出了正弦函数的无穷乘积展开：
	\begin{equation}
		\sin x = x \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)
	\end{equation}
	
	\subsection{特殊值代入}
	令$x = \frac{\pi}{2}$，得：
	\begin{align}
		1 &= \frac{\pi}{2} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{4n^2}\right) \\
		&= \frac{\pi}{2} \prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2 - 1}{4n^2} \\
		&= \frac{\pi}{2} \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)(2n+1)}{(2n)^2}
	\end{align}
	
	取倒数即得Wallis公式：
	\begin{equation}
		\frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}
	\end{equation}
	
	\section{Wallis公式的收敛性}
	\subsection{部分乘积定义}
	定义部分乘积：
	\begin{equation}
		P_m = \prod_{n=1}^m \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdots \frac{(2m)}{(2m-1)} \cdot \frac{(2m)}{(2m+1)}
	\end{equation}
	
	\subsection{收敛速度分析}
	Wallis乘积收敛较慢。前$m$项的部分乘积误差约为$O(1/m)$。
	
	\begin{table}[h]
		\centering
		\begin{tabular}{cccc}
			\toprule
			$m$ & 部分乘积 $P_m$ & 近似值 $\pi/2$ & 相对误差 (\%) \\
			\midrule
			1 & 1.3333 & 1.5708 & 15.12 \\
			5 & 1.5336 & 1.5708 & 2.37 \\
			10 & 1.5498 & 1.5708 & 1.34 \\
			50 & 1.5669 & 1.5708 & 0.25 \\
			100 & 1.5684 & 1.5708 & 0.15 \\
			1000 & 1.5704 & 1.5708 & 0.025 \\
			\bottomrule
		\end{tabular}
		\caption{Wallis乘积的部分收敛情况}
	\end{table}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			\begin{axis}[
				width=0.8\textwidth,
				height=6cm,
				xlabel=$m$,
				ylabel={部分乘积 $P_m$},
				legend pos=south east,
				grid=major,
				title={Wallis乘积的收敛行为}
				]
				
				\addplot[blue, thick] coordinates {
					(1, 1.3333)
					(2, 1.4222)
					(3, 1.4629)
					(4, 1.4862)
					(5, 1.5015)
					(10, 1.5498)
					(20, 1.5645)
					(50, 1.5669)
					(100, 1.5684)
					(200, 1.5693)
				};
				
				\addplot[red, dashed, thick] coordinates {
					(0, 1.5708) (200, 1.5708)
				};
				\node[right] at (axis cs: 150,1.571) {$\pi/2 = 1.5708$};
				
			\end{axis}
		\end{tikzpicture}
		\caption{Wallis乘积缓慢收敛于$\pi/2$}
	\end{figure}
	
	\section{在斯特林公式推导中的应用}
	\subsection{中心二项式系数}
	考虑中心二项式系数：
	\begin{equation}
		\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}
	\end{equation}
	
	\subsection{Wallis乘积的另一种形式}
	由Wallis乘积：
	\begin{equation}
		\frac{\pi}{2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n+1} \left[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right]^2
	\end{equation}
	
	注意到：
	\begin{equation}
		\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} = \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)} = \frac{2^n n!}{(2n-1)!!}
	\end{equation}
	
	\subsection{推导斯特林常数}
	假设斯特林公式形式为：
	\begin{equation}
		n! \sim C \sqrt{n} \left(\frac{n}{e}\right)^n
	\end{equation}
	
	则：
	\begin{align}
		\frac{(2n)!}{(n!)^2} &\sim \frac{C \sqrt{2n} (2n/e)^{2n}}{[C \sqrt{n} (n/e)^n]^2} \\
		&= \frac{2^{2n}}{C \sqrt{\pi n}}
	\end{align}
	
	另一方面，由Wallis乘积和中心二项式系数的关系：
	\begin{equation}
		\frac{(2n)!}{(n!)^2} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}
	\end{equation}
	
	比较得$C = \sqrt{2\pi}$，故斯特林公式为：
	\begin{equation}
		n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n
	\end{equation}
	
	\section{推广与变体}
	\subsection{广义Wallis公式}
	对于$0 < x < 1$，有广义Wallis公式：
	\begin{equation}
		\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(n + x)(n - x)}{n^2} = \frac{\sin \pi x}{\pi x}
	\end{equation}
	
	当$x = \frac{1}{2}$时，得到经典Wallis公式。
	
	\subsection{Wallis公式的加速收敛形式}
	通过欧拉变换，可以得到收敛更快的公式：
	\begin{equation}
		\frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} \cdot \exp\left(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}\right)
	\end{equation}
	其中$B_{2k}$是伯努利数。
	
	\section{数值计算中的应用}
	\subsection{圆周率的计算}
	虽然Wallis乘积收敛较慢，但在历史上它是计算圆周率的重要方法。结合各种加速收敛技术，可以改进其计算效率。
	
	\subsection{算法实现}
	\begin{verbatim}
		def wallis_pi(n_terms):
		product = 1.0
		for n in range(1, n_terms + 1):
		term = (2 * n) / (2 * n - 1) * (2 * n) / (2 * n + 1)
		product *= term
		return 2 * product
	\end{verbatim}
	
	\section{结论}
	Wallis乘积公式是数学分析中的一个经典结果，它通过优美的无穷乘积形式表达了圆周率$\pi$。本文详细介绍了该公式的多种推导方法，包括积分法、正弦函数展开法等，每种方法都从不同角度揭示了公式的本质。
	
	Wallis公式不仅在理论数学中具有重要意义，在数值计算、概率论等领域也有广泛应用。特别是它在斯特林公式推导中的关键作用，连接了圆周率与阶乘函数这两个看似不相关的数学对象，体现了数学的内在统一性。
	
	尽管Wallis乘积收敛较慢，但它开创了无穷乘积研究的先河，为后续欧拉、高斯等数学家的研究工作奠定了基础。其简洁优美的形式至今仍在数学教育和研究中发挥着重要作用。
	